PGD & ĐT TP HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN HỌC
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Ngày thi 10 tháng 01 năm 2013


Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
A =

Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 2 (2,0 điểm)
Giải các phương trình:
a.

b.

Bài 3 (1,5 điểm)
a. Cho
.
Tính
với

b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:

Bài 4 (1,5 điểm)
Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1
và

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c là bình phương của một số hữu tỉ.
b. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3.
Chứng minh rằng

Bài 5 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.
a. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
b. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.
c. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và
.
d. Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp (K
EF; M
BE và N
BF) sao cho tỉ số giữa cạnh hình vuông với bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BEF là
. Hãy tính các góc nhọn của tam giác BEF?
…………………..Hết………………..












































ĐÁP ÁN

Bài
Ý
Nội dung

1


ĐKXĐ: x > 4




Rút gọn A =



- Nếu 4 < x
8 thì A =
.



- Nếu x > 8 thì A =




* Xét A =
= 4 +
với x
Z.
A
Z
x – 4 là ước của 16 và 4< x
8
x = 5; 6; 8.



 * Xét A =
và x
Z; x > 8. (1)
* Với x
Z

là số vô tỉ, hoặc


Do đó, từ (1)
A
Z




= a (a
; a > 2)

a2 = x – 4
x = a2 + 4

A =
=
(a
; a > 2) (2)
Từ (2)
A
Z


a là ước của 8 và a > 2

a

x = 20; 68



Vậy: x = 5; 6; 8; 20; 68.

2



a
ĐKXĐ: x
2












(1) hoặc
(2)



PT (1) vô nghiệm; giải PT (2) được x = 2 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có một nghiệm x = 2



b
Điều kiện











Giải PT (1) và tìm được x = 1 là một nghiệm của PT đã cho.



Giải PT (2 và tìm được x = 1 là một nghiệm của PT đã cho
Kết luận: PT đã cho có một nghiệm là x = 1

3

a

























b
Ta có:
(*)




VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0





Vậy có 2 cặp số nguyên
hoặc


4

a
Ta có:


















hoặc
hoặc

Vậy ít nhất một trong ba số a, b, c phải là bình phương của một số hữu tỉ


b
 Do a, b > 0