SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 23/03/2012
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1 (2,5 điểm).
Rút gọn biểu thức:

Phân tích thành nhân tử:

Tìm x biết:

Câu 2 (2,0 điểm).
Giải hệ phương trình:

Giải phương trình:

Câu 3 (2,0 điểm).
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

.
b) Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2. Chứng minh rằng n2 + m không là số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M và N là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM, ON lấy lần lượt các điểm M’ và N’ sao cho OM’.OM = ON’.ON
.
Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn.
b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố định.
c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (0,5 điểm).
Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất.
………………………HẾT………………………
Họ và tên thí sinh:…………………………………...Số báo danh:……………………
Chữ kí của giám thị 1:…………………..…Chữ kí của giám thị 2:……………..……..

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁN LỚP 9 – THCS NĂM HỌC 2011 – 2012

 Lưu ý: Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25đ.

Câu
Ý
Nội dung


1
a
Rút gọn biểu thức:




ĐKXĐ: x
2 hoặc x > 4








* Trường hợp 1: x
2, ta có:











(vì x
2 nên
)



* Trường hợp 2: x
4, ta có:
nên:









b
Phân tích đa thức thành nhân tử:




Ta có












(*)



Tìm x biết:




Ta có:





(Theo (*)).



Vì
=0;
=0 vô nghiệm . KL: x = -2

2
a
Giải hệ phương trình:




(1)

, ta được x = y hoặc x = -2y



* Với x = y, từ (2) ta có:
, ta được




* Với x = -2y, từ (2) ta có
, ta được

Nếu
. Nếu




Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (-1; -1);
; (2; -1); (-6; 3).


b
Giải phương trình:





, (ĐKXĐ: x
2)




. Đặt
, ta được
(*)



(*)



Lý luận để có t = - 4



Với t = - 4, thì
hay

. Vậy x = 1


3
a
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:




Biến đổi phương trình đã cho ta được






. Do
đều chia hết cho 8; (15;8)=1 nên
là số chính phương&chia hết cho 8

. Ta có các TH sau:



*
Do 156 không c.phương nên TH này vô nghiệm
*
Do 126 không c.phương nên TH này vô nghiệm



*

Ta được
hoặc

Vậy (x; y) là (-5; 10); (-17; 10); (-1; -6); (11; -6)


b
Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2. CMR: n2 + m không là số chính phương.



Giả sử n2 + m là số chính phương. Đặt n2 + m = k2 (1) (với k nguyên dương